№676 世界史の問題（？） ２学期中間テストより

[ぷよすけさん]

「私はうそつきだ」という人は嘘つきでないカモ

２０世紀の初めには、数学界をリードしていたヒルベルトによって、「命題はどのようなものでも、成り立つのか成り立たないのかを判定することのできる公理理論がある」との考え方が信じられていました。しかし「ある理論は、その者自身を正当化することはできず、自分自身を証明することは不可能である」とゲーデルは、ヒルベルトの理論を覆したのです。これが不完全性定理といわれるもので、１９３１年に発表されました。…ゲーデルの不完全性定理の発見は、数学以外の学問的分野にも通用するものとしてとらえられました。なぜなら、不完全性定理の証明から得られることは、「真実の永遠や絶対の保証は、どこにもない」ということだからです。
ゲーデルが証明したことを、具体的に考えてみましょう。例えば、私が「私は嘘つきです」と言います。その時、この言葉が真実だとしたならば、わたしは嘘つきです。しかし、嘘つきなのに真実を言ったとすると、矛盾します。一方、もしこの言葉が嘘だとすると、私は嘘つきではないことになります。すると、嘘つきではないが、嘘を言ったということで、これもまた矛盾してしまいます。つまり、どちらにしても矛盾してしまうことで、「自己言及のパラドックス」と言われています。
では、もし「私は正直者だ」といったとしたらどうでしょう。

問「私は正直者だ」という言葉は、実はその真偽を証明することはできない。それはなぜか説明しなさい。

このことはまた、論理的に矛盾を解消することで、真理に到達することができると考えていた、当時の数学者や哲学者などに、大きな衝撃(ゲーデル・ショック)を与えました。　(「面白いほどよくわかる数学の定理」日本文芸社)


この問いは冷静に考えれば単純な問題なのですが、わざわざいろいろ書いてくれたおかげで自分以外全滅でした(笑)

[きゅうしゅう団地！！さん]

＞問「私は正直者だ」という言葉は、実はその真偽を証明することはできない。それはなぜか説明しなさい。

「自分と同じ人間は一人としていないから」？

[ぷよすけさん]

きゅうしゅう団地！！さんこんばんは｡
｢嘘つき｣版を参考にしてみてください｡

というか寝ろよ自分ww

[旧猫さん]

ぷよすけさん　こんばんは

今時の高校の試験には、ゲーデルの不完全性定理の話が問題として出るんですか？確かに不完全性定理のベースはうそつきパラドックスからきてますけど、これは世界史の問題なんですか？数学基礎論の領域なので、哲学か論理学か数学で扱う問題ですよね。

ちなみに、私は答えが分かっているので、答えはいいません。
こういう例を考えると、答えやすいという例を出しましょう。

あなたの前に、2人の小人が現れました。一人は、常に正しい事を言う、正直な小人で、もう一人は常に嘘の事を言う、うそつき小人です。
さて、ここで、あなたはYes/Noで答えられる質問を一つだけする事が許されています。どう質問したら、どちらが、正直な小人か見分ける事が出来るでしょうか？

この辺の話に興味あるのであれば、お奨めの本があります。
「パズルランドのアリス」　レイモンド・スマリヤン著　早川文庫
文庫版になる際に、１と2の分冊になりました。

http://www.amazon.co.jp/%E6%95%B0%E7%90%86%E3%82%92%E6%84%89%E3%81%97%E3%82%80-%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA-%E3%83%91%E3%82%BA%E3%83%AB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E3%81%AE%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%82%B91-%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BBM%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%9E%E3%83%AA%E3%83%A4%E3%83%B3/dp/4150502889

スマリヤンの本は、とてもいいですよ。

[ぷよすけさん]

九尾化猫さんこんにちは｡
世界史の先生がこういった事に詳しいため､ﾃｽﾄに1題くらいこのような哲学的な問題が出ます｡
期末ﾃｽﾄは｢ｷﾘｽﾄの『右の頬を打たれたら､左の頬を差し出しなさい』を美化される前のﾆｭｱﾝｽで訳しなさい｣といった感じの問題でしたww
九尾さんの問題も1年生の時にやりました｡｢詭弁論理学｣という本です｡

[旧猫さん]

ぷよすけさん　こんばんは。

世界史の先生の趣味なんですね。ヴィトゲンシュタインなんかも出てきましたか？

ところで、うそつきパラドックスには、一つの重要なポイントがあります。これは、私がIT会社に勤めていたからこそ、取り上げている問題なのですが、うそつきパラドックスが、パラドックスになる理由は、命題を自己言及させるからです。
自己言及しない命題の場合、生じませんし、命題で主張している全体集合が、命題とは別の所にある場合、完全になる事がしばしばあります。
こういう時に役立つ思考法をお教えしましょう。聞いた事があるかも知れませんが、反証論という手法です。命題に対して、それを適用しているものについて証明できる、もしくは証明された反論をぶつけると言うものです。証明された反証の場合、元の命題が誤りであると断定できてしまうのです。
すると、その命題をぐちぐち考えずにすみますよね。

一番よく出てくる例はこれです。
「例外のないルールは存在しない」
一見、真実のように見えますね。しかし、この命題を自己言及した時、もし、命題が真だったら、自分自身の例外が出てこない事になり、矛盾を起こします。もしやうそつきパラドックスと同じ、証明不可能命題かと思われますね。
でも、実際には、命題が偽なんです。
反証例を持ってくれば良いのです。
「ゲーデルの不完全性定理は、数学上のルールである。この定理には、例外が存在しない。したがって、例外のないルールが存在するので、元の命題は偽」
と証明できるのです。こういう論理的訓練をしておくと、大学、はたまた、社会に出てから、物事を考える時に、非常に役に立ちますよ。

いつも、つまらない、説教臭い話でごめんなさいね。試験がんばってください。

[yoc1234さん]

こんにちは。

この先生、教育の現場では浮いているでしょうね。

変わり者です。

自分も夏に風が吹いてきて涼しくなってきたので、もう直ぐ雪みたいなものが降ってくるといったら、

誰も信じませんでした。

実際に、雹かあられのようなものが降ってきたんですが、

山ではこんなことしょっちゅうですので、

このこの生徒も、これから人生の山に行くでしょうが、この先生の変わった授業は役に立つ人もいるでしょうね。

[黒鮪殿下さん]

ぷよさん おはようございます

確かに｢私は絶対に嘘はつきません｣と言う人は嘘つきです｡

その事自体嘘です(笑)｡